9월 모의고사 15번 {#orig_question}
주머니에 $$1,1,2,3,4$$의 숫자가 하나씩 적혀 있는
$$5$$개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $$4$$개의 공을
동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에
적혀 있는 수를 $$a,b,c,d$$라 할 때, $$a\leq b\leq c\leq d$$일 확률은?
9평 15번 문제는 틀린 풀이와 옳은 풀이의 결과가 같다. 그래서 1이 적힌 공을 한 개 더 늘린 문제를 사용해서 설명한 뒤 9평 문제를 설명하겠다.
설명용 문제 {#alt_question}
$$1,1,1,2,3,4$$
가 하나씩 적혀 있는 공 $$6$$개가 들어있는 주머니에서
임의로 $$4$$개의 공을 동시에
꺼내어 꺼내 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에
적혀있는 수를 $$a,b,c,d$$라 할 때 조건 $$ A: a\leq b\leq c\leq d$$를 만족할 확률은?
설명용 문제 풀이 {#explanation}
시행의 단순화 {#simplification}
$$ \_nP_r = \_nC_r \times r! $$
동시에 뽑은 뒤 배열하는 경우의 수는 하나씩 뽑으면서 배열하는 경우의 수와 같다. 그러므로 동시에 4개를 뽑아 일렬로 나열해서 얻은 $$a,b,c,d$$가 $$A$$를 만족할 확률은 1개씩 4번 뽑아 차례대로 $$a,b,c,d$$라고 할 때 $$A$$를 만족할 확률과 같다.
공의 구분 가능 여부? {#does_it_matter}
논란의 핵심인데, 공이 구분 가능하던 아니던 간에 6개 중 1이 적힌 공이 3개일 때 1이 적힌 공을 뽑을 확률은 $$\frac {3}{6}$$이다. 같은 원리로, 남은 5개중 1이 적힌 공을 뽑을 확률은 $$\frac {2}{5}$$ 이다. 이것 때문에 공이 구분 가능한지가 아예 상관이 없는 거다. 선생님들께서 잘못 생각하신 게 이건데, 이 문제는 공의 구분 가능 여부가 확률에 영향을 미칠 수 없는 문제다. 전해들은 얘기지만 어떤 선생님께서 공의 색이 다를 수 있어서 $$_6P_4$$라고 하셨다는데, 이건 틀린 얘기다. 1끼리 구분 가능한 지 여부는 1이 뽑힐 확률에 영향을 못 미치기 때문에, 1 끼리 구분 불가능해도 같은 결과가 나온다. 이 문제에 별 다른 조건이 없는 걸로 봐서 출제하신 교수님께선 이게 상관 없다는 걸 알고 계셨을 거라 생각한다.
쉬운 풀이 {#easy_explanation}
위에 서술한 시행의 단순화에 따라 시행을 단순화시키면, 6개 공 중 1개씩 4번 뽑고, 뽑은 순서대로 $$a,b,c,d$$ 이므로 조건 $$A$$를 만족하는 $$a,b,c,d$$를 기준으로 분류하면 된다.
위의 [공의 구분 가능 여부?]({{< ref "#does_it_matter" >}})에서 설명한 방식대로 $$P( (a,b,c,d) = (1,1,2,3) )$$ 를 계산하면,
- 1이 적힌 공 3개 중 1개를 뽑을 확률은 $$3 \over 6$$
- 남은 5개중 1은 2개이므로, $$2 \over 5$$
- 4개 중 2를 뽑을 확률은 $$1 \over 4$$
- 3개 중 3을 뽑을 확률은 $$1 \over 3$$
이다.
같은 방법으로 표를 작성하면
| $$(a,b,c,d)$$ | $$P((a,b,c,d) = (....))$$ |
| $$(1,2,3,4)$$ | $$\frac {3}{6} \times \frac {1}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} = \frac {1}{120} $$ |
| $$(1,1,2,3)$$ | $$\frac {3}{6} \times \frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} = \frac {1}{60} $$ |
| $$(1,1,2,4)$$ | $$\frac {1}{60}$$ |
| $$(1,1,3,4)$$ | $$\frac {1}{60}$$ |
| $$(1,1,1,2)$$ | $$\frac {3}{6} \times \frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} = \frac {1}{60} $$ |
| $$(1,1,1,3)$$ | $$\frac {1}{60}$$ |
| $$(1,1,1,4)$$ | $$\frac {1}{60}$$ |
이다.
$$\therefore P(A) = \frac {13}{120}$$
우아한(?) 풀이 {#simpler_explanation}
편의를 위해 $$(a,b,c,d)$$의 조합을 $$B = comb(abcd)$$라고 하자.
$$comb(abcd)$$
으로 분류하고 조합이 나올 확률과 각 조합이 조건 A를 만족할 확률을 곱한뒤 전부 더해도 같은 확률인데, 왜냐하면 $$comb(abcd)$$로 분류하면 각 조합은 다른 조합과 배반 사건이고, 부속 사건은 이 조합이 일어났을 때만 존재하기 때문이다.
수식으로 표현하면
$$ P(A) = \sum P(comb(abcd)) \times P(A \vert comb(abcd)) $$
인데, 이 경우 각 조합을 다 따질 필요는 없고 1의 개수로 분류하면 된다.
$$comb(abcd)$$
에 포함된 1이 1개일 때의 경우는,
- 1이 적힌 공 3개 중에 한 개 선택 => $$_3C_1$$
- 1이 아닌 공 3개 중에 3개 선택 => $$_3C_3$$
이므로 $$ P(A|comb(abcd)) = _3C_1 \times _3C_3 $$이다.
같은 방식으로
| 1의 개수 | $$n(B)$$ | $$P(B)$$ | $$P(A \vert B)$$ | $$P(B) \times P(A \vert B)$$ |
| 1개 | $$_3C_1 \times _3C_3$$ | $$\frac {1}{5}$$ | $$\frac {1}{24}$$ | $$\frac {1}{120}$$ |
| 2개 | $$_3C_2 \times _3C_2$$ | $$\frac {3}{5}$$ | $$\frac {1}{12}$$ | $$\frac {1}{20}$$ |
| 3개 | $$_3C_3 \times _3C_1$$ | $$\frac {1}{5}$$ | $$\frac {1}{4}$$ | $$\frac {1}{20}$$ |
이므로
$$\therefore P(A) = \frac {1}{120} + \frac {1}{20} + \frac {1}{20} = \frac {13}{120}$$
결과는 역시 $$\frac {13}{120}$$이 나왔다. 위에 쉬운 풀이의 표에서 생략한 값들이 "1이 아닌 것"들 중에서 뽑는 과정에서 합쳐지기 때문에 더 간단하다. 그리고 개인적인 추측인데, 이게 출제 의도였다고 생각한다.
결과는 같은데, 사고 과정이 틀린 풀이 {#wrong_exp_1}
1이 적힌 공이 구별 가능하다고 전제하고 푸는 풀이다. 이 풀이는 값은 정확하게 나오지만 하지만 풀이 과정은 틀렸다.
$$n(S) = {_6}P{_4} = 360$$
$$n(A)$$
는 1의 개수로 분류하되, $$1/1'/1''$$은 서로 다른 것으로 센다.
예를 들어 1이 2개일 때, 3가지 1중 2개를 뽑아서 나열하고, 1이 아닌 것 3개 중 2개를 뽑으면 되므로,
| 1의 개수 | $$n(A)$$ |
| 1개 | $$_3P_1 \times _3C_3 = 3$$ |
| 2개 | $$_3P_2 \times _3C_2 = 18$$ |
| 3개 | $$_3P_3 \times _3C_1 = 18$$ |
이렇게 된다. $$n(A) = 39$$이므로 $$P(A) = \frac {39} {360} = \frac {13}{120}$$ 이고, 답은 같게 나온다.
틀린 풀이 2 {#wrong_exp_2}
1끼리 구분 불가능하다고 전제하고 푸는 풀이다.
$$n(A)$$
의 경우, 1끼리 구분 불가능하므로 틀린 풀이 1에서 1을 나열하는 것만 생략하면 된다.
| 1의 개수 | n(B) | 배열(같은 것이 있는 순열) |
| 1개 | $$_3C_3=1$$ | $$4!=24$$ |
| 2개 | $$_3C_2=3$$ | $$\frac {4!}{2!} = 12$$ |
| 3개 | $$_3C_1=3$$ | $$\frac {4!}{3!} = 4$$ |
$$ n(S) = 4! \times 1 + 12 \times 3 + 4 \times 3 = 72$$
$$ n(A) = 1 + 3 + 3 = 7 $$
$$ \therefore P(A) = \frac {7}{72} $$
인데, 오답이다.
9평 15번 풀이 {#orig_exp}
이제 위에서 본 설명을 기반으로 원래 문제를 풀어보자.
9평 15번 문제의 쉬운 풀이 {#orig_exp_easy}
가능한 $$(a,b,c,d)$$가 $$(1,1,2,3), (1,1,2,4), (1,1,3,4), (1,2,3,4)$$ 뿐이므로, 표로 작성하면
| $$(a,b,c,d)$$ | $$P((a,b,c,d) = ....)$$ |
| $$(1,1,2,3)$$ | $$\frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{2} = \frac {1}{60} $$ |
| $$(1,1,2,4)$$ | $$\frac {1}{60}$$ |
| $$(1,1,3,4)$$ | $$\frac {1}{60}$$ |
| $$(1,2,3,4)$$ | $$\frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{2} = \frac {1}{60}$$ |
이렇게 된다.
$$ \therefore P(A) = \frac {1}{60} \times {3} + \frac {1}{60} = \frac {1}{15} $$
9평 15번 문제의 우아한(?) 풀이 {#orig_exp_simple}
이 문제에선, 1이 적힌 공 2개와 1이 적히지 않은 공 3개가 있다.
| 1의 개수 | $$n(B)$$ | $$P(B)$$ | $$P(A \vert B)$$ | $$P(B) \times P(A \vert B)$$ |
| 1개 | $$_2C_1 \times _3C_3$$ | $$\frac {2}{5}$$ | $$\frac {1}{24}$$ | $$\frac {1}{60}$$ |
| 2개 | $$_2C_2 \times _3C_2$$ | $$\frac {3}{5}$$ | $$\frac {1}{12}$$ | $$\frac {1}{20}$$ |
더하면
$$ \therefore P(A) = \frac {1}{60} + \frac {1}{20} = \frac {1}{15}$$
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