9월 모의고사 15번

주머니에 $1,1,2,3,4$ 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 $4$ 개의 공을 동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀 있는 수를 $a,b,c,d$ 라 할 때, $a\leq b\leq c\leq d$ 일 확률은?

9평 15번 문제는 틀린 풀이와 옳은 풀이의 결과가 같다. 그래서 1이 적힌 공을 한 개 더 늘린 문제를 사용해서 설명한 뒤 9평 문제를 설명하겠다.

설명용 문제

$1,1,1,2,3,4$ 가 하나씩 적혀 있는 공 $6$ 개가 들어있는 주머니에서 임의로 $4$ 개의 공을 동시에 꺼내어 꺼내 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀있는 수를 $a,b,c,d$ 라 할 때 조건 $A: a\leq b\leq c\leq d$ 를 만족할 확률은?

설명용 문제 풀이

시행의 단순화

$\_nP_r = \_nC_r \times r!$

동시에 뽑은 뒤 배열하는 경우의 수는 하나씩 뽑으면서 배열하는 경우의 수와 같다. 그러므로 동시에 4개를 뽑아 일렬로 나열해서 얻은 $a,b,c,d$ 가 $A$ 를 만족할 확률은 1개씩 4번 뽑아 차례대로 $a,b,c,d$ 라고 할 때 $A$ 를 만족할 확률과 같다.

공의 구분 가능 여부?

논란의 핵심인데, 공이 구분 가능하던 아니던 간에 6개 중 1이 적힌 공이 3개일 때 1이 적힌 공을 뽑을 확률은 $\frac {3}{6}$ 이다. 같은 원리로, 남은 5개중 1이 적힌 공을 뽑을 확률은 $\frac {2}{5}$ 이다. 이것 때문에 공이 구분 가능한지가 아예 상관이 없는 거다. 선생님들께서 잘못 생각하신 게 이건데, 이 문제는 공의 구분 가능 여부가 확률에 영향을 미칠 수 없는 문제다. 전해들은 얘기지만 어떤 선생님께서 공의 색이 다를 수 있어서 $_6P_4$ 라고 하셨다는데, 이건 틀린 얘기다. 1끼리 구분 가능한 지 여부는 1이 뽑힐 확률에 영향을 못 미치기 때문에, 1 끼리 구분 불가능해도 같은 결과가 나온다. 이 문제에 별 다른 조건이 없는 걸로 봐서 출제하신 교수님께선 이게 상관 없다는 걸 알고 계셨을 거라 생각한다.

쉬운 풀이 {#easy_explanation}

위에 서술한 시행의 단순화에 따라 시행을 단순화시키면, 6개 공 중 1개씩 4번 뽑고, 뽑은 순서대로 $a,b,c,d$ 이므로 조건 $A$ 를 만족하는 $a,b,c,d$ 를 기준으로 분류하면 된다.

위의 [공의 구분 가능 여부?]({{< ref “#does_it_matter” >}})에서 설명한 방식대로 $P( (a,b,c,d) = (1,1,2,3) )$ 를 계산하면,

1이 적힌 공 3개 중 1개를 뽑을 확률은 $3 \over 6$
남은 5개중 1은 2개이므로, $2 \over 5$
4개 중 2를 뽑을 확률은 $1 \over 4$
3개 중 3을 뽑을 확률은 $1 \over 3$

이다.

같은 방법으로 표를 작성하면

$(a,b,c,d)$	$P((a,b,c,d) = (....))$
$(1,2,3,4)$	$\frac {3}{6} \times \frac {1}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} = \frac {1}{120}$
$(1,1,2,3)$	$\frac {3}{6} \times \frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} = \frac {1}{60}$
$(1,1,2,4)$	$\frac {1}{60}$
$(1,1,3,4)$	$\frac {1}{60}$
$(1,1,1,2)$	$\frac {3}{6} \times \frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} = \frac {1}{60}$
$(1,1,1,3)$	$\frac {1}{60}$
$(1,1,1,4)$	$\frac {1}{60}$

이다.

$\therefore P(A) = \frac {13}{120}$

우아한(?) 풀이 {#simpler_explanation}

편의를 위해 $(a,b,c,d)$ 의 조합을 $B = comb(abcd)$ 라고 하자.

$comb(abcd)$ 으로 분류하고 조합이 나올 확률과 각 조합이 조건 A를 만족할 확률을 곱한뒤 전부 더해도 같은 확률인데, 왜냐하면 $comb(abcd)$ 로 분류하면 각 조합은 다른 조합과 배반 사건이고, 부속 사건은 이 조합이 일어났을 때만 존재하기 때문이다.

수식으로 표현하면 $P(A) = \sum P(comb(abcd)) \times P(A \vert comb(abcd))$ 인데, 이 경우 각 조합을 다 따질 필요는 없고 1의 개수로 분류하면 된다.

$comb(abcd)$ 에 포함된 1이 1개일 때의 경우는,

1이 적힌 공 3개 중에 한 개 선택 => $_3C_1$
1이 아닌 공 3개 중에 3개 선택 => $_3C_3$

이므로 $P(A|comb(abcd)) = \_3C_1 \times \_3C_3$ 이다. 같은 방식으로

1의 개수	$n(B)$	$P(B)$	$P(A \vert B)$	$P(B) \times P(A \vert B)$
1개	$_3C_1 \times _3C_3$	$\frac {1}{5}$	$\frac {1}{24}$	$\frac {1}{120}$
2개	$_3C_2 \times _3C_2$	$\frac {3}{5}$	$\frac {1}{12}$	$\frac {1}{20}$
3개	$_3C_3 \times _3C_1$	$\frac {1}{5}$	$\frac {1}{4}$	$\frac {1}{20}$

이므로

$\therefore P(A) = \frac {1}{120} + \frac {1}{20} + \frac {1}{20} = \frac {13}{120}$

결과는 역시 $\frac {13}{120}$ 이 나왔다. 위에 쉬운 풀이의 표에서 생략한 값들이 “1이 아닌 것”들 중에서 뽑는 과정에서 합쳐지기 때문에 더 간단하다. 그리고 개인적인 추측인데, 이게 출제 의도였다고 생각한다.

결과는 같은데, 사고 과정이 틀린 풀이 {#wrong_exp_1}

1이 적힌 공이 구별 가능하다고 전제하고 푸는 풀이다. 이 풀이는 값은 정확하게 나오지만 하지만 풀이 과정은 틀렸다.

$n(S) = {_6}P{_4} = 360$

$n(A)$ 는 1의 개수로 분류하되, $1/1'/1''$ 은 서로 다른 것으로 센다. 예를 들어 1이 2개일 때, 3가지 1중 2개를 뽑아서 나열하고, 1이 아닌 것 3개 중 2개를 뽑으면 되므로,

1의 개수	$n(A)$
1개	$_3P_1 \times _3C_3 = 3$
2개	$_3P_2 \times _3C_2 = 18$
3개	$_3P_3 \times _3C_1 = 18$

이렇게 된다. $n(A) = 39$ 이므로 $P(A) = \frac {39} {360} = \frac {13}{120}$ 이고, 답은 같게 나온다.

틀린 풀이 2 {#wrong_exp_2}

1끼리 구분 불가능하다고 전제하고 푸는 풀이다.

$n(A)$ 의 경우, 1끼리 구분 불가능하므로 틀린 풀이 1에서 1을 나열하는 것만 생략하면 된다.

1의 개수	n(B)	배열(같은 것이 있는 순열)
1개	$_3C_3=1$	$4!=24$
2개	$_3C_2=3$	$\frac {4!}{2!} = 12$
3개	$_3C_1=3$	$\frac {4!}{3!} = 4$

$n(S) = 4! \times 1 + 12 \times 3 + 4 \times 3 = 72$

$n(A) = 1 + 3 + 3 = 7$ $\therefore P(A) = \frac {7}{72}$ 인데, 오답이다.

9평 15번 풀이 {#orig_exp}

이제 위에서 본 설명을 기반으로 원래 문제를 풀어보자.

9평 15번 문제의 쉬운 풀이 {#orig_exp_easy}

가능한 $(a,b,c,d)$ 가 $(1,1,2,3), (1,1,2,4), (1,1,3,4), (1,2,3,4)$ 뿐이므로, 표로 작성하면

$(a,b,c,d)$	$P((a,b,c,d) = ....)$
$(1,1,2,3)$	$\frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{2} = \frac {1}{60}$
$(1,1,2,4)$	$\frac {1}{60}$
$(1,1,3,4)$	$\frac {1}{60}$
$(1,2,3,4)$	$\frac {2}{5} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{2} = \frac {1}{60}$

이렇게 된다.

$\therefore P(A) = \frac {1}{60} \times {3} + \frac {1}{60} = \frac {1}{15}$

9평 15번 문제의 우아한(?) 풀이 {#orig_exp_simple}

이 문제에선, 1이 적힌 공 2개와 1이 적히지 않은 공 3개가 있다.

1의 개수	$n(B)$	$P(B)$	$P(A \vert B)$	$P(B) \times P(A \vert B)$
1개	$_2C_1 \times _3C_3$	$\frac {2}{5}$	$\frac {1}{24}$	$\frac {1}{60}$
2개	$_2C_2 \times _3C_2$	$\frac {3}{5}$	$\frac {1}{12}$	$\frac {1}{20}$

더하면 $\therefore P(A) = \frac {1}{60} + \frac {1}{20} = \frac {1}{15}$

※ 오류가 있다면 댓글로 알려주세요.

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2016학년도 9월 모의고사 수학 가형 15번 해설