이 글의 내용은 성균관대학교 권순학 교수님의 2019년 5월 2일, 5월 7일 수업 내용을 재구성한 것입니다.

Definition: multiplicative order of \(a \; (\\textrm{mod} \; m) \)

\(a^x \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) \)을 만족하는 최소의 양수 \(x\)를 multiplicative order of \(a \; (\\textrm{mod} \; m) \)라고 칭하고, \( x = ord_m a \)라고 나타낸다.

Remark: 위 조건을 만족하는 x는 항상 존재한다.

증명

$$ \\because (a, m) = 1 $$

$$ \\Rightarrow a^{\\phi(m)} \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$

$$ \\Rightarrow ord\_m a \\le \\phi(m) $$

예시: \( m = 5 \)

$$ ord\_5 2 = 4 = \\phi(5) $$

$$ ord\_5 4 = 2 \\lt \\phi(5) $$

Theorem 9.1: \(a^x \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) \\Leftrightarrow ord_m a \\mid x \)

$$ (a, m) = 1, m \\ge 1 $$

\(\\Leftarrow\) 증명

$$ x = (ord_m a) k, \;\; k \\in \\mathbb{Z} $$

$$ a^x \\equiv a^{(ord_m a) k} \\equiv (a^{(ord_m a)})^k \\equiv 1^k \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$

\(\\Rightarrow\) 증명

$$ x = (ord_m a) k + r \;\; (0 \\le r \\lt ord_m a) $$

$$ 1 \\equiv a^x \\equiv a^{(ord_m a) k + r} \\equiv a^{(ord_m a) k} a^r \\equiv 1^k a^r \\equiv a^r $$

$$ \\Rightarrow r = 0 \;\; (\\because (ord_m a) \\textrm{ is least positive integer satisfying } a^k \\equiv 1) $$

Colorary 9.1.1: \( ord_m a \\mid \\phi(m) \)

$$ (a, m) = 1, \;\; m \\ge 1 $$

증명

$$ a^{\\phi(m)} \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$

$$ \\Rightarrow ord_m a \\mid \\phi(m) $$

Theorem 9.2: \(a^i \\equiv a^j \; (\\textrm{mod} \; m) \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; ord_m a) \)

$$ (a, m) = 1, \; m \\ge 1 $$

\(i, j\)는 임의의 정수이다.

증명

$$ a^i \\equiv a^j \; (\\textrm{mod} \; m) $$

$$ \\Leftrightarrow m \\mid a^i - a^j $$

$$ \\Leftrightarrow m \\mid a^i (a^{j-i} -1) $$

$$ \\Leftrightarrow m \\mid (a^{j-i} -1) \;\; (\\because (a, m) = 1) $$

$$ \\Leftrightarrow (a^{j-i} -1) \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$

$$ \\Leftrightarrow ord_m a \\mid i - j $$

$$ \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; ord_m a) $$

Definition: Primitive root

$$ (a, m) = 1, m \\ge 1 $$

$$ \\phi(m) = ord_m a $$

일 때, \(a\)를 primitive root modulo \(m\) 이라고 한다.

예시: m = 5

$$ \\phi(5) = 4 $$

$$ ord_5 2 = 4 $$

이므로 \(2\)는 primitive root modulo \(5\)이다.

$$ ord_5 4 = 2 \\neq \\phi(5) $$

이므로 \(4\)는 primitive root modulo \(5\)가 아니다.

예시: m = 10

$$ \\phi(10) = \\phi(2)\\phi(5) = 4 $$

$$ ord_{10} 3 = 4 $$

이므로 \(3\)은 primitive root modulo \(10\)이다.

Remark: Primitive root modulo \(n\)은 존재하지 않을 수도 있다

$$ n = 8 $$

$$ \\phi(8) = 2^3 - 2^2 = 4 $$

$$ a = 1 \; (\\textrm{mod} \; 8), a = 1 \\\\ a^2 = 1 \; (\\textrm{mod} \; 8), a = 3, 5, 7 $$

$$ \\therefore \\textrm{no primitive root modulo } 8 $$

Theorem 9.3: \(a: \\textrm{a primitive root modulo } n \\Leftrightarrow \\{a, a^2, \\cdots, a^{\\phi(n)} \\} \) is RRS

$$ (a, n) = 1, n \\ge 1 $$

\(\\Leftarrow\) 증명

$$ a^{\\phi(n)} \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; n) $$

$$ a^j \\not\\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; n) \;\; (1 \\le j \\lt \\phi(n)) $$

RRS이므로, 값이 전부 다르다

$$ ord_n a = \\phi(n)) $$

\(\\Rightarrow\) 증명

1. 모두 서로 다르다

$$ a^i \\equiv a^j \; (\\textrm{mod} \; n) $$

$$ \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; ord_n a) \;\; (\\because \\textrm{Thm 9.2}) $$

$$ ord_n a = \\phi(n) \;\; (\\because \\textrm{a is a primitive root modulo} \; n) $$

$$ \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; \\phi(n)) $$

$$ \\Leftrightarrow \\phi(n) \\mid i - j $$

$$ 1 \\le i, j \\le \\phi(n) \\Rightarrow i = j $$

2. \( (a^j, n) =1 \)

$$ (a^j, n) = 1 = (a, n) $$

Remark: generator of RRS

\(a\)가 primitive root modulo \(n\)일 때, \(a\)를 RRS의 generator라고 부른다.

Theorem 9.4: \( ord_m (a^u) = \\frac {ord_m a} {(ord_m a, u)} \)

$$ (a, m) = 1, m \\ge 1 $$

증명

$$ t = ord_m a $$

$$ d = (t, u) $$

$$ t = dt_1, u = du_1 $$

$$ (t_1, u_1) = 1 $$

$$ s = ord_m (a^u) $$

\(s \\mid t_1\)

$$ (a^u)^{t_1} \\equiv a^{d u_1 t_1} \\equiv (a^t)^{u_1} \\equiv 1^{u_1} \\equiv 1 $$

$$ \\Rightarrow ord_m (a^u) \\mid t_1 $$

$$ \\Rightarrow s \\mid t_1 $$

\(t_1 \\mid s\)

$$ 1 \\equiv (a^u)^s \\equiv a^us \; (\\textrm{mod} \; m) $$

$$ \\Rightarrow ord_m a \\mid us $$

$$ \\Rightarrow t \\mid us $$

$$ \\Rightarrow dt_1 \\mid d u_1 s $$

$$ \\Rightarrow t_1 \\mid u_1 s $$

$$ \\Rightarrow t_1 \\mid s \;\; (\\because (t_1, u_1) = 1) $$

Collorary 9.4.1: \(a^u: \\textrm{a primitive root modulo } m \\Leftrightarrow (u, \\phi(m)) = 1 \)

증명

$$ \\phi(m) = ord_m {a^u} \;\; (\\because a^u \\textrm{ is a primitive root}) $$

$$ ord_m {a^u} = \\frac {ord_m {a}} {(ord_m {a}, u)} $$

Theorem 9.5: \(n\)이 Primitive root를 가질 경우, 그 개수는 \(\\phi(\\phi(n))\)이다

증명

$$ r: \\textrm{primitive root} \; (\\textrm{mod} \; m) $$

$$ \\{ r, r^2, \\cdots, r^{\\phi(m)} \\} \\textrm{: RRS} \; (\\textrm{mod} m) $$

$$ \\forall r^{j} \\textrm{( in the RRS) has order of } r^j \; (\\textrm{mod} \; m) $$

$$ ord_m r^j = \\frac {ord_m r} {(j, ord_m r)} = \\frac {\\phi(m)} {(j, \\phi(m))} \;\; \\because \\textrm{Thm 9.4} $$

\(r^j\)이 Primitive root modulo \(m \\Leftrightarrow (j, \\phi(m)) = 1\)

$$ \\{1, 2, \\cdots, \\phi(m)\\}: \\textrm{CRS} (\\textrm{ mod } m) $$

$$ \\phi(\\phi(m)) = \\textrm{the number of primitive roots} $$

Remark: \(p: \\textrm{prime}\)

Primitive root \(\\textrm{mod} \; p\)가 존재할 때, Primitive root의 개수는 \(\\phi(\\phi(m)) = \\phi(p - 1)\)이다.

에시: \(p = 11\)

$$ \\phi(\\phi(11)) = \\phi(10) = 4 $$

$$ g: \\textrm{primitive root} $$

$$ \\{g^1, g^3, g^7, g^9\\}: \\textrm{all primitive roots} \\\\ \\because (1, 10) = (3, 10) = (7, 10) = (9, 10) = 1 $$

2는 primitive root modulo 11이다.

$$ 2^5 \\equiv -1 \; (\\textrm{mod} \; 11) \\Rightarrow ord_{11} 2 = 10 $$

$$ \\because ord_{11} 2 \\mid 10 = \\phi(11) $$

$$ {2^1, 2^3, 2^7, 2^9} \\equiv \\{2, 8, 7, 6\\}:\\textrm{all primitive roots} $$