정수론 Chapter 9.1 - The order of an Integer and Primitive Roots
이 글의 내용은 성균관대학교 권순학 교수님의 2019년 5월 2일, 5월 7일 수업 내용을 재구성한 것입니다.
Definition: multiplicative order of \(a \; (\\textrm{mod} \; m) \)
\(a^x \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) \)을 만족하는 최소의 양수 \(x\)를 multiplicative order of \(a \; (\\textrm{mod} \; m) \)라고 칭하고, \( x = ord_m a \)라고 나타낸다.
Remark: 위 조건을 만족하는 x는 항상 존재한다.
증명
$$ \\because (a, m) = 1 $$
$$ \\Rightarrow a^{\\phi(m)} \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$
$$ \\Rightarrow ord\_m a \\le \\phi(m) $$
예시: \( m = 5 \)
$$ ord\_5 2 = 4 = \\phi(5) $$
$$ ord\_5 4 = 2 \\lt \\phi(5) $$
Theorem 9.1: \(a^x \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) \\Leftrightarrow ord_m a \\mid x \)
$$ (a, m) = 1, m \\ge 1 $$
\(\\Leftarrow\) 증명
$$ x = (ord_m a) k, \;\; k \\in \\mathbb{Z} $$
$$ a^x \\equiv a^{(ord_m a) k} \\equiv (a^{(ord_m a)})^k \\equiv 1^k \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$
\(\\Rightarrow\) 증명
$$ x = (ord_m a) k + r \;\; (0 \\le r \\lt ord_m a) $$
$$ 1 \\equiv a^x \\equiv a^{(ord_m a) k + r} \\equiv a^{(ord_m a) k} a^r \\equiv 1^k a^r \\equiv a^r $$
$$ \\Rightarrow r = 0 \;\; (\\because (ord_m a) \\textrm{ is least positive integer satisfying } a^k \\equiv 1) $$
Colorary 9.1.1: \( ord_m a \\mid \\phi(m) \)
$$ (a, m) = 1, \;\; m \\ge 1 $$
증명
$$ a^{\\phi(m)} \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$
$$ \\Rightarrow ord_m a \\mid \\phi(m) $$
Theorem 9.2: \(a^i \\equiv a^j \; (\\textrm{mod} \; m) \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; ord_m a) \)
$$ (a, m) = 1, \; m \\ge 1 $$
\(i, j\)는 임의의 정수이다.
증명
$$ a^i \\equiv a^j \; (\\textrm{mod} \; m) $$
$$ \\Leftrightarrow m \\mid a^i - a^j $$
$$ \\Leftrightarrow m \\mid a^i (a^{j-i} -1) $$
$$ \\Leftrightarrow m \\mid (a^{j-i} -1) \;\; (\\because (a, m) = 1) $$
$$ \\Leftrightarrow (a^{j-i} -1) \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; m) $$
$$ \\Leftrightarrow ord_m a \\mid i - j $$
$$ \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; ord_m a) $$
Definition: Primitive root
$$ (a, m) = 1, m \\ge 1 $$
$$ \\phi(m) = ord_m a $$
일 때, \(a\)를 primitive root modulo \(m\) 이라고 한다.
예시: m = 5
$$ \\phi(5) = 4 $$
$$ ord_5 2 = 4 $$
이므로 \(2\)는 primitive root modulo \(5\)이다.
$$ ord_5 4 = 2 \\neq \\phi(5) $$
이므로 \(4\)는 primitive root modulo \(5\)가 아니다.
예시: m = 10
$$ \\phi(10) = \\phi(2)\\phi(5) = 4 $$
$$ ord_{10} 3 = 4 $$
이므로 \(3\)은 primitive root modulo \(10\)이다.
Remark: Primitive root modulo \(n\)은 존재하지 않을 수도 있다
$$ n = 8 $$
$$ \\phi(8) = 2^3 - 2^2 = 4 $$
$$ a = 1 \; (\\textrm{mod} \; 8), a = 1 \\\\ a^2 = 1 \; (\\textrm{mod} \; 8), a = 3, 5, 7 $$
$$ \\therefore \\textrm{no primitive root modulo } 8 $$
Theorem 9.3: \(a: \\textrm{a primitive root modulo } n \\Leftrightarrow \\{a, a^2, \\cdots, a^{\\phi(n)} \\} \) is RRS
$$ (a, n) = 1, n \\ge 1 $$
\(\\Leftarrow\) 증명
$$ a^{\\phi(n)} \\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; n) $$
$$ a^j \\not\\equiv 1 \; (\\textrm{mod} \; n) \;\; (1 \\le j \\lt \\phi(n)) $$
RRS이므로, 값이 전부 다르다
$$ ord_n a = \\phi(n)) $$
\(\\Rightarrow\) 증명
1. 모두 서로 다르다
$$ a^i \\equiv a^j \; (\\textrm{mod} \; n) $$
$$ \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; ord_n a) \;\; (\\because \\textrm{Thm 9.2}) $$
$$ ord_n a = \\phi(n) \;\; (\\because \\textrm{a is a primitive root modulo} \; n) $$
$$ \\Leftrightarrow i \\equiv j \; (\\textrm{mod} \; \\phi(n)) $$
$$ \\Leftrightarrow \\phi(n) \\mid i - j $$
$$ 1 \\le i, j \\le \\phi(n) \\Rightarrow i = j $$
2. \( (a^j, n) =1 \)
$$ (a^j, n) = 1 = (a, n) $$
Remark: generator of RRS
\(a\)가 primitive root modulo \(n\)일 때, \(a\)를 RRS의 generator라고 부른다.
Theorem 9.4: \( ord_m (a^u) = \\frac {ord_m a} {(ord_m a, u)} \)
$$ (a, m) = 1, m \\ge 1 $$
증명
$$ t = ord_m a $$
$$ d = (t, u) $$
$$ t = dt_1, u = du_1 $$
$$ (t_1, u_1) = 1 $$
$$ s = ord_m (a^u) $$
\(s \\mid t_1\)
$$ (a^u)^{t_1} \\equiv a^{d u_1 t_1} \\equiv (a^t)^{u_1} \\equiv 1^{u_1} \\equiv 1 $$
$$ \\Rightarrow ord_m (a^u) \\mid t_1 $$
$$ \\Rightarrow s \\mid t_1 $$
\(t_1 \\mid s\)
$$ 1 \\equiv (a^u)^s \\equiv a^us \; (\\textrm{mod} \; m) $$
$$ \\Rightarrow ord_m a \\mid us $$
$$ \\Rightarrow t \\mid us $$
$$ \\Rightarrow dt_1 \\mid d u_1 s $$
$$ \\Rightarrow t_1 \\mid u_1 s $$
$$ \\Rightarrow t_1 \\mid s \;\; (\\because (t_1, u_1) = 1) $$
Collorary 9.4.1: \(a^u: \\textrm{a primitive root modulo } m \\Leftrightarrow (u, \\phi(m)) = 1 \)
증명
$$ \\phi(m) = ord_m {a^u} \;\; (\\because a^u \\textrm{ is a primitive root}) $$
$$ ord_m {a^u} = \\frac {ord_m {a}} {(ord_m {a}, u)} $$
Theorem 9.5: \(n\)이 Primitive root를 가질 경우, 그 개수는 \(\\phi(\\phi(n))\)이다
증명
$$ r: \\textrm{primitive root} \; (\\textrm{mod} \; m) $$
$$ \\{ r, r^2, \\cdots, r^{\\phi(m)} \\} \\textrm{: RRS} \; (\\textrm{mod} m) $$
$$ \\forall r^{j} \\textrm{( in the RRS) has order of } r^j \; (\\textrm{mod} \; m) $$
$$ ord_m r^j = \\frac {ord_m r} {(j, ord_m r)} = \\frac {\\phi(m)} {(j, \\phi(m))} \;\; \\because \\textrm{Thm 9.4} $$
\(r^j\)이 Primitive root modulo \(m \\Leftrightarrow (j, \\phi(m)) = 1\)
$$ \\{1, 2, \\cdots, \\phi(m)\\}: \\textrm{CRS} (\\textrm{ mod } m) $$
$$ \\phi(\\phi(m)) = \\textrm{the number of primitive roots} $$
Remark: \(p: \\textrm{prime}\)
Primitive root \(\\textrm{mod} \; p\)가 존재할 때, Primitive root의 개수는 \(\\phi(\\phi(m)) = \\phi(p - 1)\)이다.
에시: \(p = 11\)
$$ \\phi(\\phi(11)) = \\phi(10) = 4 $$
$$ g: \\textrm{primitive root} $$
$$ \\{g^1, g^3, g^7, g^9\\}: \\textrm{all primitive roots} \\\\ \\because (1, 10) = (3, 10) = (7, 10) = (9, 10) = 1 $$
2는 primitive root modulo 11이다.
$$ 2^5 \\equiv -1 \; (\\textrm{mod} \; 11) \\Rightarrow ord_{11} 2 = 10 $$
$$ \\because ord_{11} 2 \\mid 10 = \\phi(11) $$
$$ {2^1, 2^3, 2^7, 2^9} \\equiv \\{2, 8, 7, 6\\}:\\textrm{all primitive roots} $$